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      江蘇揚州中學2019屆高三數學下學期開學試題(附答案)

      時間:2019-02-26 作者: 試題來源:網絡

      江蘇揚州中學2019屆高三數學下學期開學試題(附答案)

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      江蘇省揚州中學2019屆高三開學
      數學I試題
      注意事項:
      1.本試卷共160分,考試時間120分鐘;
      2.答題前,請務必將自己的姓名學校、考試號寫在答卷紙的規定區域內;
      3.答題時必須使用0.5毫米黑色簽字筆書寫,作圖可用2B鉛筆.
      一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分,請將答案填寫在答題卷相應的位置上.)
      1.全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3,4},B={3,5},則 =       .
      2.己知復數 ,則z的虛部為    .
      3.如圖是樣本容量為200的頻率分布直方圖,根據此樣本的頻率分布
      直方圖估計,樣本數據落在[6,10)內的頻數為       .



      4.現有三張識字卡片,分別寫有“中”“國”“夢”這三個字.將這三張卡片隨機排序,則能組成“中國夢”的概率是________.
      5. 函數 的定義域為     .
      6.己知  ,且  <0,則  的值為    .
      7.若正整數N除以正整數m后的余數為r,則記為 N=r (mod m),例如10 = 2 (mod 4)。下列程序框圖的算法源于我國古代數學名著《孫子算經》中的 “中國剩余定理”,則執行該程序框圖輸出的 等于     .

      8.已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上,則該圓柱的體積為      .
      9.已知雙曲線C:  ,點A,B在雙曲線C的左支上,0為坐標點,直線B0與雙曲線C的右支交于點M。若直線AB的斜率為3,直線AM的斜率為1,則雙曲線C的離心率為    .
      10.已知 是首項為1,公比為2的等比數列,數列 滿足 ,且
       ( ),若 ,則 的值為     .
      11.在△ABC中,已知AB=3,BC=2,D在AB上,AD→=13AB→.若DB→•DC→=3,則AC的長是________.
      12.在平面直角坐標系xOy中,已知AB是圓O: 直徑,若直線l:
      上存在點P,連接AP與圓O交于點Q,滿足 ∥ ,則實數k的取值范圍是       .

      13.已知一個等腰三角形的底邊長為4,則它的一條底角的角平分線長的取值范圍是        .
      14.設函數g(x)=ex+3x-a(a∈R,e為自然對數的底數),定義在R上的連續函數f(x)滿足:f(-x)+f(x)=x2,且當x<0時, f′(x)<x,若∃x0∈{x|f(x)+2≥f(2-x)+2x},使得g(g(x0))=x0,則實數a的取值范圍為      .
      二、解答題(本大題共6小題,共計90分,請在答題紙指定區域內作答,解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
      15.(本小題滿分14分)
      如圖,在四棱柱 中,已知平面 平面 且 , .
      (1)求證:
      (2)若 為棱 的中點,求證: 平面 .










      16.在如圖所示的平面直角坐標系中,已知點A(1,0)和點B(﹣1,0), =1,且∠AOC=x,其中O為坐標原點.
      (1)若 ,設點D為線段OA上的動點,求 的最小值;
      (2)若 [0, ],向量 , ( , ),求 的最小值及對應的x值.





      17. 如圖,一樓房高 為 米,某廣告公司在樓頂安裝一塊寬 為 米的廣告牌, 為拉桿,廣告牌BC邊與水平方向的夾角為 ,安裝過程中,一身高為 米的監理人員 站在樓前觀察該廣告牌的安裝效果;為保證安全,該監理人員不得站在廣告牌的正下方;設 米,該監理人員觀察廣告牌的視角 ;
      (1)試將 表示為 的函數;
      (2)求點 的位置,使 取得最大值.







      18. 已知橢圓C的兩焦點分別為F1( ,0),F2( ,0),點E在橢圓C上,且∠F1EF2= 60°,  .
      (1)求橢圓C的標準方程;
      (2)過 軸正半軸上一點M作直線 ,交橢圓C于A B兩點。問:是否存在定點M,使當直線 繞點M任意轉動時, 為定值?若存在,求出定點M的坐標;若不存在,說明理由。






      19. 設 是定義在區間 上的函數,其導函數為 。如果存在實數 和函數 ,其中 對任意的 都有 >0,使得 ,則稱函數 具有性質 。
      (1)設函數  ,其中 為實數。
      (i)求證:函數 具有性質 ; (ii)求函數 的單調區間。
      (2)已知函數 具有性質 ,給定 設 為實數,
       , ,且 ,
      若| |<| |,求 的取值范圍。






      20.已知數列{an}的奇數項是首項為1的等差數列,偶數項是首項為2的等比數列. 數列{an}的前 和為 ,且滿足 , .
      (1)求數列{an}的通項公式;
      (2)在數列{an}中,若 成等差數列,求整數 的值;
      (3)是否存在正整數 ,使得 恰好是{an}的一項?若存在,求出所有滿足條件的 值,若不存在說明理由.



      數學II試題(附加題)
      1.求曲線 在矩陣M= 對應的變換作用下得到的曲線所圍成圖形的面積.











      2.在平面直角坐標系中,以坐標原點 為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已知直線 的參數方程為 ,曲線 的極坐標方程為 ;
      (1)求直線 的直角坐標方程和曲線 的直角坐標方程;
      (2)若直線 與曲線 交點分別為 ,設點 ,求 的值.











      3.如圖是某市3月1日至14日的空氣質量指數趨勢圖.空氣質量指數小于100表示空氣質量優良,空氣質量指數大于200表示空氣重度污染.某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市,并停留2天.
       
      (1)求此人到達當日空氣重度污染的概率;
      (2)設X是此人停留期間空氣質量優良的天數,求X的分布列與數學期望;





      4.記函數
      (1)證明: ;
      (2)證明:當 是奇數時,方程 有唯一的實根;當 是偶數時,方程 沒有實根.




      江蘇省揚州中學2019屆高三開學
      數學I試題
      注意事項:
      1.本試卷共160分,考試時間120分鐘;
      2.答題前,請務必將自己的姓名學校、考試號寫在答卷紙的規定區域內;
      3.答題時必須使用0.5毫米黑色簽字筆書寫,作圖可用2B鉛筆.
      一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分,請將答案填寫在答題卷相應的位置上.)
      1.全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3,4},B={3,5},則 =       .
      2.己知復數 ,則z的虛部為    .
      3.如圖是樣本容量為200的頻率分布直方圖,根據此樣本的頻率分布
      直方圖估計,樣本數據落在[6,10)內的頻數為       .



      4.現有三張識字卡片,分別寫有“中”“國”“夢”這三個字.將這三張卡片隨機排序,則能組成“中國夢”的概率是________.
      5. 函數 的定義域為     .
      6.己知  ,且  <0,則  的值為    .
      7.若正整數N除以正整數m后的余數為r,則記為 N=r (mod m),例如10 = 2 (mod 4)。下列程序框圖的算法源于我國古代數學名著《孫子算經》中的 “中國剩余定理”,則執行該程序框圖輸出的 等于     .

      8.已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上,則該圓柱的體積為      .
      9.已知雙曲線C:  ,點A,B在雙曲線C的左支上,0為坐標點,直線B0與雙曲線C的右支交于點M。若直線AB的斜率為3,直線AM的斜率為1,則雙曲線C的離心率為    .
      10.已知 是首項為1,公比為2的等比數列,數列 滿足 ,且
       ( ),若 ,則 的值為     .
      11.在△ABC中,已知AB=3,BC=2,D在AB上,AD→=13AB→.若DB→•DC→=3,則AC的長是________.
      12.在平面直角坐標系xOy中,已知AB是圓O: 直徑,若直線l:
      上存在點P,連接AP與圓O交于點Q,滿足 ∥ ,則實數k的取值范圍是       .

      13.已知一個等腰三角形的底邊長為4,則它的一條底角的角平分線長的取值范圍是        .
      14.設函數g(x)=ex+3x-a(a∈R,e為自然對數的底數),定義在R上的連續函數f(x)滿足:f(-x)+f(x)=x2,且當x<0時, f′(x)<x,若∃x0∈{x|f(x)+2≥f(2-x)+2x},使得g(g(x0))=x0,則實數a的取值范圍為      .
      二、解答題(本大題共6小題,共計90分,請在答題紙指定區域內作答,解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
      15.(本小題滿分14分)
      如圖,在四棱柱 中,已知平面 平面 且 , .
      (1)求證:
      (2)若 為棱 的中點,求證: 平面 .










      16.在如圖所示的平面直角坐標系中,已知點A(1,0)和點B(﹣1,0), =1,且∠AOC=x,其中O為坐標原點.
      (1)若 ,設點D為線段OA上的動點,求 的最小值;
      (2)若 [0, ],向量 , ( , ),求 的最小值及對應的x值.





      17. 如圖,一樓房高 為 米,某廣告公司在樓頂安裝一塊寬 為 米的廣告牌, 為拉桿,廣告牌BC邊與水平方向的夾角為 ,安裝過程中,一身高為 米的監理人員 站在樓前觀察該廣告牌的安裝效果;為保證安全,該監理人員不得站在廣告牌的正下方;設 米,該監理人員觀察廣告牌的視角 ;
      (1)試將 表示為 的函數;
      (2)求點 的位置,使 取得最大值.







      18. 已知橢圓C的兩焦點分別為F1( ,0),F2( ,0),點E在橢圓C上,且∠F1EF2= 60°,  .
      (1)求橢圓C的標準方程;
      (2)過 軸正半軸上一點M作直線 ,交橢圓C于A B兩點。問:是否存在定點M,使當直線 繞點M任意轉動時, 為定值?若存在,求出定點M的坐標;若不存在,說明理由。






      19. 設 是定義在區間 上的函數,其導函數為 。如果存在實數 和函數 ,其中 對任意的 都有 >0,使得 ,則稱函數 具有性質 。
      (1)設函數  ,其中 為實數。
      (i)求證:函數 具有性質 ; (ii)求函數 的單調區間。
      (2)已知函數 具有性質 ,給定 設 為實數,
       , ,且 ,
      若| |<| |,求 的取值范圍。






      20.已知數列{an}的奇數項是首項為1的等差數列,偶數項是首項為2的等比數列. 數列{an}的前 和為 ,且滿足 , .
      (1)求數列{an}的通項公式;
      (2)在數列{an}中,若 成等差數列,求整數 的值;
      (3)是否存在正整數 ,使得 恰好是{an}的一項?若存在,求出所有滿足條件的 值,若不存在說明理由.




      數學II試題(附加題)
      1.求曲線 在矩陣M= 對應的變換作用下得到的曲線所圍成圖形的面積.











      2.在平面直角坐標系中,以坐標原點 為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已知直線 的參數方程為 ,曲線 的極坐標方程為 ;
      (1)求直線 的直角坐標方程和曲線 的直角坐標方程;
      (2)若直線 與曲線 交點分別為 ,設點 ,求 的值.











      3.如圖是某市3月1日至14日的空氣質量指數趨勢圖.空氣質量指數小于100表示空氣質量優良,空氣質量指數大于200表示空氣重度污染.某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市,并停留2天.
       
      (1)求此人到達當日空氣重度污染的概率;
      (2)設X是此人停留期間空氣質量優良的天數,求X的分布列與數學期望;





      4.記函數
      (1)證明: ;
      (2)證明:當 是奇數時,方程 有唯一的實根;當 是偶數時,方程 沒有實根.








      江蘇省揚州中學2019屆高三開學
      1.{1,2,4,5}    2.1   3.64     4. 16 5.    6.  
      7. 27   8.     9.2   10.  .
      11. 10 解析:由已知BD=2,AD=1,設DC=x,∠BDC=θ,則DB→•DC→=2xcos θ=3.又4=4+x2-4xcos θ,可得x=6,cos θ=64,則在△ADC中,AC2=12+(6)2-2×1×6×-64=10,故AC=10.  12.     13.  
      14.解析 設F(x)=f(x)-x22,則F′(x)=f′(x)-x,所以當x<0時,F′(x)<0,
      故函數F(x)=f(x)-x22是(-∞,0)上的單調遞減函數,又由f(-x)+f(x)=x2可知,
      F(-x)+F(x)=f(-x)+f(x)-2×x22=0,則函數F(x)=f(x)-x22是奇函數,
      所以函數F(x)=f(x)-x22是(-∞,+∞)上的單調遞減函數.
      由題設中f(x)+2≥f(2-x)+2x可得F(x)≥F(2-x),解得x≤1,
      由g(g(x0))=x0,得g(x0)=x0,所以問題轉化為x=ex+3x-a在(-∞,1]上有解,
      即a=ex+2x在(-∞,1]上有解,
      令h(x)=ex+2x,x∈(-∞,1],則h′(x)=ex+2>0,
      故h(x)=ex+2x在(-∞,1]上單調遞增,則h(x)≤h(1)=e+2,即a≤e+2。
      15證明:⑴在四邊形 中,因為 , ,所以 ,
      又平面 平面 ,且平面 平面 ,
       平面 ,所以 平面 ,
      又因為 平面 ,所以 .
      ⑵在三角形 中,因為 ,且 為 中點,所以 ,
      又因為在四邊形 中, , ,
      所以 , ,所以 ,所以  ,
      因為 平面 , 平面 ,所以 平面 .
      16. 解:(Ⅰ) 設 ( ),又
      所以
      所以  ……………3分
       
      所以當 時, 最小值為     ………………6分
      (Ⅱ)由題意得 ,

                                   ……………9分
      因為 ,所以              ……………10分
      所以當 ,即 時, 取得最大值  
      所以 時, 取得最小值  
      所以 的最小值為 ,此時 …………………………14分
      17. 解析:(1)作 于 ,作 于 ,交 于 ,
      作 于 ,則 ;
      在直角 中, , ,
      則 , ;
      在直角 中,
      有 ;
      在直角 中,
      有 ;

       ;
      再由題意可知:監理人員只能在 點右側,即 .………………………  7分
      (2)由(1)得: ;
      令 ,則 ;
      ∴ ,
      當且僅當 即 時,等號成立;此時, ;
      又易知: 是銳角,即 ,而 在 是增函數;
      ∴當 時, 取最大值.■ ………………………… 14分
      18.
       
       

      19. [解析] 本小題主要考查函數的概念、性質、圖象及導數等基礎知識,考查靈活運用數形結合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力。滿分16分。
      (1)(i)  
      ∵ 時, 恒成立,
      ∴函數 具有性質 ;
      (ii)(方法一)設 , 與 的符號相同。
      當 時,  ,  ,故此時 在區間 上遞增;
      當 時,對于 ,有  ,所以此時 在區間 上遞增;
      當 時, 圖像開口向上,對稱軸 ,而 ,
      對于 ,總有  ,  ,故此時 在區間 上遞增;
      (方法二)當 時,對于 ,
         所以  ,故此時 在區間 上遞增;
      當 時, 圖像開口向上,對稱軸 ,方程 的兩根為: ,而
       當 時,  ,  ,故此時 在區間      上遞減;同理得: 在區間 上遞增。
      綜上所述,當 時, 在區間 上遞增;
                當 時, 在 上遞減; 在 上遞增。
      (2)(方法一)由題意,得:
      又 對任意的 都有 >0,
      所以對任意的 都有 , 在 上遞增。
      又 。
      當 時, ,且 ,
       
                   
       
       
       
       
      綜合以上討論,得:所求 的取值范圍是(0,1)。
      (方法二)由題設知, 的導函數 ,其中函數 對于任意的 都成立。所以,當 時, ,從而 在區間 上單調遞增。
      ①當 時,有 ,
       ,得 ,同理可得 ,所以由 的單調性知 、  ,
      從而有| |<| |,符合題設。
      ②當 時, ,
       ,于是由 及 的單調性知 ,所以| |≥| |,與題設不符。
      ③當 時,同理可得 ,進而得| |≥| |,與題設不符。因此綜合①、②、③得所求的 的取值范圍是(0,1)。
      20




      2)在數列{an}中,若am=a2k,則由am+am+2=2am+1,得2×3k-1+2×3k=2(2k+1).化簡得4•3k-1=2k+1,此式左邊為偶數,右邊為奇數,不可能成立.
      若am=a2k-1,則由am+am+2=2am+1,得(2k-1)+(2k+1)=2×2×3k-1
      化簡得k=3k-1,令Tk= (k∈N*),則Tk+1−Tk=
      因此,1=T1>T2>T3>…,故只有T1=1,此時K=1,m=2×1-1=1.正整數m的值為1.












       ,因此
      所以只有 滿足,此時
      綜上,存在正整數 和 ,使得 恰好分別是{an}的 和
      數學II試題(附加題)
      1.解:設點 為曲線 上的任意一點,在矩陣 對應的變換作用下得到的點為 ,則 ,所以              ……5分
      所以曲線 在矩陣 對應的變換作用下得到的曲線為 ,……8分   所圍成的圖形為菱形,其面積為    .……10分
      2.(1) ,曲線 ;
      (2)將 ( 為參數)代入曲線C的方程,得 ,
       , .
      3.解:設Ai表示事件“此人于3月i日到達該市”(i=1,2,…,13).
              根據題意, ,且 …………………………2分
             (Ⅰ)設B為事件“此人到達當日空氣重度污染”,則 .
                   ∴ …………………………4分)
      (Ⅱ)由題意可知,X的所有可能取值為0,1,2,且
             ,
                    
                    
                   ∴X的分布列為:
      X    0    1    2
      P    
       
       

                   故X的 數學期望 ……………………10
      4. 解:(1) , , 是R上的的單調增函數。
       ,可設
       在 遞減,在 遞增, ,

      (2)證明:用數學歸納法證明 有唯一解 且嚴格單調遞增, 無實數解。
      ①當n=1時,此時 有唯一解 ,且嚴格單調遞增,而 無實數解,
      ②現在假設 有唯一解 且嚴格單調遞增, 無實數解, 無實數解,所以 恒成立,所以 單調增
      因為 ,當,  ,
      所以  
      所以 有唯一解 ,
      綜上所述,對任意正整數n,當n為偶數時 無解,當n為奇數 有唯一解 。


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