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      北京西城区2019届高三数学4月一模试卷(理科有答案)

      时间:2019-04-12 作者: 试题来源:网络

      北京西城区2019届高三数学4月一模试卷(理科有答案)

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      w.5Y k J.cO m

      北京市西城区高三统一测试
                 数学(理科)      2019.4
      第Ⅰ卷(选择题  共40分)

      一、    选择题:本大题共8小题,每小题5 分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
      1.设全集 ,集合 , ,则集合

      (A)
      (B)

      (C)
      (D)


      2.若复数 ,则在复平面内 对应的点位于

        (A)第一象限    (B)第二象限
        (C)第三象限    (D)第四象限
       3. 执行如图所示的程序框图,则输出的 值为   
         (A)4
         (B)5
         (C)7
         (D)9




      4.下列直线中,与曲线C: 没有公共点的是

        (A)
      (B)

        (C)
      (D)

      5. 设  均为正数,则“ ”是“ ”的

        (A)充分而不必要条件    (B)必要而不充分条件
        (C)充要条件    (D)既不充分也不必要条件

      6.如图,阴影表示的平面区域 是由曲线 , 所围成的. 若点 在  内(含边界),则 的最大值和 最小值分别为

      (A) ,




      (B) ,

      (C) ,

      (D) ,


      7. 团体购买公园门票,票价如下表:
      购票人数    1~50    51~100    100以上
      门票价格    13元/人    11元 /人    9元/人
      现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园,若按部门作为团体,选择两个不同的时间分别购票游览公园,则共需支付门票费为1290元;若两个部门合在一起作为一个团体,同一时间购票游览公园,则需支付门票费为990元,那么这两个部门的人数之差为
        (A)
      (B)

        (C)
      (D)


       8. 如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的?#26412;叮?#37027;么曲线 围成的平面区域的?#26412;?#20026;
        (A)
      (B)

        (C)
      (D)



      第Ⅱ卷(非选择题  共110分)
      二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
      9. 在等比数列 中, , ,则数列 的前n项和 ____.
      10.设 , 为双曲线 的两个焦点,若双曲线 的两个顶点恰好将线段 三等分,则双曲线 的离心率为____.
      11.函数 的最小正周期 ____;如果对 于任意的 都有 ,那么实数a的取值范围是____.
      12.某四棱锥的三视图如图所示,那么此四棱锥的体积为____.









      13. 能说明“若  ,则 ,其中 ”为假命题的一组 ,  的值是___.
      14.如图所示,玩具计数算盘的三档上各有7个算珠,现将每档算珠分为左右两部分,左侧的每个算珠表示数2,?#20063;?#30340;每个算珠表示数1(?#24066;?#19968;侧无珠),记上、中、下三档的数字和分别为 , , . 例如,图中上档的数字和 . 若 , , 成等差数列,则不同的分珠计数法有____种.



      三、解答题:本大题共 6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
      15.(本小题满分13分)
      在△ 中,已知 ,其中 .
      (Ⅰ)判断 能否等于3,并说明理由;
      (Ⅱ)若 , , ,求 .     
          
      16.(本小题满分14分)
      如图,在多面体 中,梯形 与平行四边形 所在平面互相垂直,  , , , , .
      (Ⅰ)求证: 平面 ;
      (Ⅱ)求二面角 的余弦值;
      (Ⅲ)判断线段 上是否存在点 ,使得
            平面 平面 ?若存在,求
            出 的值,若不存在,说明理由.

      17.(本小题满分13分)
          为培养学生的阅读习惯,某校开展了为期一年的“弘扬传统文化,阅读经典名著”活动. 活动后,为了解阅读情况,学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量(单位:本),统?#24179;?#26524;用茎叶图记录如下,乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以a表示.




          (Ⅰ)若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值, 求图中a的所有可能取值;
      (Ⅱ)将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”. 设 ,现从所有“阅读达人”里任取3人,求其中乙组的人数X的分布列和数学期望.
          (Ⅲ)记甲组阅读量的方差为 . 在甲组中增加一名学生A得到新的甲组,若A的阅读?#35838;?0,则记新甲组阅读量的方差为 ;若A的阅读?#35838;?0,则记新甲组阅读量的方差为 ,试比较 , , 的大小.(结论不要求证明)
      18.(本小题满分13分)
      设函数 ,其中  .
      (Ⅰ)当 为偶函数时,求函数 的极值;
      (Ⅱ)若函数 在区间 上有两个零点,求 的取值范围.

      19.(本小题满分14分)
      已知椭圆 :  的长轴长为4,左、右顶点分别为 ,经过点 的直线与椭圆  相交于不同的两点 (不与点 重合).
      (Ⅰ)当 ,且直线  轴时, 求四边形 的面积;
      (Ⅱ)设 ,直线 与直线 相交于点 ,求证: 三点共线.

      20.(本小题满分13分)
      如图,设 是由  个实数 组成的 行 列的数表,其中  表示位于第 行第 列的实数,且 .
       
       
       
       

       
       
       
       

       
       
       
       

       
       
       
       

      定义   为第s行与第t行的积. 若对于任意 ( ),都有 ,则称数表 为完美数表.
      (Ⅰ)当 时,试写出一个符合条件的完美数表;
      (Ⅱ)证明:不存在10行10列的完美数表;
      (Ⅲ)设 为 行 列的完美数表,且对于任意的 和 ,都有 ,证明: .

      北京市西城区高三统一测试
               数学(理科)参考答案及评分标准      2019.4
      一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.
      1.B                2.D                 3.D                4.C   
      5.C                6.A                 7.B                8.B
      二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
      9.
      10.  
      11.  ;

      12.
      13.答案不唯一,如 ,
      14.

      注:第11题第一问3分,第二问2分.
      三、解答题:本大题共6小题,共80分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分.
      15.(本小题满分13分)
      解?#28023;á瘢?#24403; 时,由题可知  ,
      由余弦定理 ,                           ……………… 3分
      得 .                                 ……………… 4分
      这与 矛盾,
      所以 不可能等于3 .                                       ……………… 6分
         (Ⅱ)由(Ⅰ),得  ,所以 .                   ……………… 7分
               因为 , , ,
               所以 ,
      解得 (舍)或 .                                               ……………… 9分
               在△ 中,由正弦定理 ,                     ……………… 11分
               得 .                          ……………… 13分
               
      16.(本小题满分14分)
      解?#28023;á瘢?#30001;底面 为平行四边形,知 ,
         又因为 平面 , 平面 ,
         所以 平面 .                                      ……………… 2分
         同理 平面 ,
       又因为 ,
         所以平面 平面 .                               ……………… 3分
         又因为 平面 ,
                所以 平面 .                                    ……………… 4分
         (Ⅱ)连接 ,
      因为平面 平面 ,平面 平面 , ,
      所以 平面 . 则 .
      又因为 , , ,
         所以 平面 ,则 .
          故 两两垂直,所以以 所在的直线分别为 轴、 轴和 轴,如图建立空间直角坐标系,                                    ……………… 6分
         则 , , , , , ,
         所以 , , 为平面 的一个法向量.
         设平面 的一个法向?#35838;?,
               由 , ,得
               令 ,得 .       ………………8分
         所以 .
         如图可得二面角 为锐角,
         所以二面角 的余弦值为 .                      ………………10分
      (Ⅲ)结论?#21512;?#27573; 上存在点 ,使得平面 平面 .       ………………11分
      证明如下:
      设 ,
               所以 .
      设平面 的法向?#35838;?,又因为 ,
      所以 , ,即             ……………… 12分
      若平面 平面 ,则 ,即 ,      ……………… 13分
      解得 .
      所以线段 上存在点 ,使得平面 平面 ,且此时 .  …… 14分
      17.(本小题满分13分)
      解?#28023;á瘢?#30002;组10名学生阅读量的平均值为 ,
               乙组10名学生阅读量的 平均值为 .
      ……………… 2分
               由题意,得 ,即 .                              ……………… 3分
               故图中a的取值为 或 .                                    ……………… 4分
         (Ⅱ)由图可知,甲组“阅读达人”有2人,乙组“阅读达人”有3人.
               由题意,随机变量 的所有可能取值为:1,2,3.              …………… … 5分
                且 , ,  . …… 8分
                所以随机变量 的分布列为:
           1    2    3
           
       
       

      ……………… 9分
      所以 .                        ………………10分
         (Ⅲ) .                                             ……………… 13分


      18.(本小题满分13分)
      解?#28023;á瘢?#30001;函数 是偶函数,得 ,
      即 对于任意实数 都成立,
      所以 .                                              ……………… 2分
      此时 ,则 .
      由 ,解得 .                                ……………… 3分
      当x变化时, 与 的变化情况如下表所示:    
       
       
       
       
       
       

       
       
      0    
      0    

       
      ↘    极小值    ↗    极大值    ↘
      所以 在 , 上单调递减,在 上单调递增.   …………… 5分
      所以 有极小值 , 有极大值 .          ……………… 6分
         (Ⅱ)由 ,得 .
         所以“ 在区间 上有两个零点”等价于“直线 与曲线 , 有且只有两个公共点”.                             ……………… 8分
               对函数 求导,得 .                  ……………… 9分
               由 ,解得 , .                      ……………… 10分
               当x变化时, 与 的变化情况如下表所示:    
       
       
       
       
       
       

       
       
      0    
      0    

       
      ↘    极小值    ↗    极大值    ↘
               所以 在 , 上单调递减,在 上单调递增.    …………… 11分  
               又因为 , , , ,
               所以当 或 时,直线 与曲线 , 有且只有两个公共点.                                           
               即当 或 时,函 数  在区间 上有两个零点. ……… 13分

      19.(本小题满分14分)
      解?#28023;á瘢?#30001;题意,得 , 解得 .                        ……………… 2分
      所以椭圆 方程为 .                              ……………… 3分
      当 ,及直线  轴时,易得 , . 且 , .
      所以 , ,
      显然此时四边形 为菱形,所以四边形 的面积为 . …… 5分
      (Ⅱ)当直线 的斜率 不存在时,由题意,得 的方程为 ,
               代入椭圆 的方程,得 , ,
               易得 的方程为 .
               则 , , ,
               所以 ,即 三点共线.                       ……………… 7分
               当直线 的斜率 存在时,设 的方程为 , , ,
               联立方程  消去y,得 .      ……… 9分
               由题意,得 恒成立,故 , .    …………… 10分
               直线 的方程为 .                       
               令 ,得 .                                   ……………… 11分
               又因为 , ,
            则直线  , 的斜率分别为 , , …………… 12分
            所以 .
           上式中的分子  
                                            
                                            
                                            ,
           所以 .
               所以 三点共线.                                   ……………… 14分

      20.(本小题满分13分)
      1    1
       
      1
      解?#28023;á瘢?#31572;案不唯一. 如:
                                ……………… 3分                                                                                                                                  
                                                                  
         (Ⅱ)假设存在10行10列的完美数表 .
               根据完美数表的定义,可以得到以下两个结论:
           (1)把完美数表的任何一列的数变为其相反数(即 均变为 ,而 均变为 ),得到的新数表是完美数表;
              (2)交换完美数表的任意两列,得到的新数表也是完美数表.   ……………… 5分
               完美数表 反复经过上述两个结论的变换,前三行可以为如下形式:
       
       
       
       

      在这个新数表中,设前三行中的数均为1的有x列,前三行中“第1, 2行中的数为1,且第3行中的数为-1”的有y列,前三行中“第1, 3行中的数为1,且第2行中的数为-1”的有z列,前三行中“第1行中的数为1,且第2, 3行中的数为-1”的有w列(如上表所示),
              则                   ○1
              由 ,得 ;         ○2
              由 ,得 ;         ○3
              由 ,得 .          ○4
              解方程组○1,○2,○3,○4,得 .
              这与 矛盾,
              所以不存在10行10列的完美数表.                            ……………… 8分
       (Ⅲ)记第1列前l行中的数的和 ,第2列前l行中的数的和
          ,……,第n列前l行中的数的和 ,
              因为对于任意的 和 ,都有 ,
               所以 .                                 ……………… 9分
              又因为对于任意 ( ),都有 ,
              所以 .                                 ……………… 11分
              又因为 ,
              所以 ,即 .                                     ……………… 13分

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