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      2019届高三文科数学3月模拟试题(含答案山东聊城一中)

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      2019年第一?#25991;?#25311;考试自主训练(一)
      数学(文)试题
      一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
      1.在复平面内,复数6-5i,-2+3i对应的点分别为A、B,若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是(    )
      A.4+8i  B.8+2i  C.2-i  D.4+i
      2.设命题p:-6≤m≤6,命题q:函数f(x)=x2+mx+9(m∈R)没有零点,则p是q的(    )
      A.充分不必要条件  B.必要不充分条件  C.充要条件  D.既不充分也不必要条件
      3.点P(a,3)到直线4x-3y+1=0的距离等于4,且在2x+y-3<0表示的平面区域内,则a的值为(    )
      A.3    B.7       C.-3    D.-7
      4.若函数f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)= ,则在(-2,0)上,下列函数中与f(x)的单调性相同的是(    )
      A.y=-x2+1  B.y=|x+1|    C.y=e|x|    D.y=2x-1,x≥0x3+1,x<0
      5.若 , ,则 的值为(    )
      A.              B.              C.            D.
      6.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥的三视图的是(    )
       
      7.将参加夏令营的400名学生编号为:001,002,…,400,采用系统抽样的方法抽取一个容?#35838;?0的样本,且随机抽得的第1个号码为003,这400名学生分住在三个营区,从001到180在第一营区,从181到295在第二营区,从296到400在第三营区,三个营区被抽中的人数分别为(    )
      A.18,12,10    B.20,12,8     C.17,13,10       D.18,11,11


      8.已知△ABC中,∠A=30°,AB、BC分别是3+2,3-2的等差中项与等比中项,则△ABC的面积等于(    )
      A.32      B.34       C.32或3       D.32或34
      9.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺, 竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图,若输入的a,b分别为5,2,则输出的n等于(  )

      A.2          B.3          C.4              D.5
      10.A(a,1),B(2,b),C(4,5)为坐标平面内三点,O为坐标原点,若OA→与OB→在OC→方向上的投影相同,则a,b满足的关系式为(    )
      A.4a-5b=3  B.5a-4b=3    C.4a+5b=14  D.5a+4b=14
      11.已知抛物线 的焦点为F,P为抛物线上一点, 周长最小时,PF所在直线的斜率为(    )
      A.             B.             C.             D.
      12.已知方程x3+ax2+bx+c=0的三个实根可分别作为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率,则a2+b2的取值?#27573;?#26159;(    )
      A.(5,+∞)  B.[5,+∞)  C.[5,+∞)  D.(5,+∞)
      第Ⅱ卷
      二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,满分20分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.
      13.若直线 与两坐标轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,则 的内?#24615;?#30340;标准方程为__________.

      14.如图,在矩形ABCD中,AB=3,过点A向∠BAD所在区域等可能任作一条射线AP,已知事件“射线AP与线段BC有公共点”发生的概率为13,则BC边的长为         .
      15.△ABC的内角A,B,C的对边分别为 的面积为S, 的最大值为__________.
      16.函数y=f(x)图象上不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)处的切线的斜?#21490;?#21035;是kA,kB,规定φ(A,B)=|kA-kB||AB|2叫做曲线y=f(x)在点A、B之间的“平方弯曲?#21462;?设曲线y=ex+x上不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1-x2=1,则φ(A,B)的取值?#27573;?#26159;__       __.

      三、解答题(共70分.解答应写出文字?#24471;鰲?#35777;明过程或演算步骤.)
      17.(本题满分12分)已知等比数列 为递增数列且满足 ,数列 满足: .
      (1)求数列 和 的通项公式;
      (2)设 ,求数列 的前 项和 .


      18.(本题满分12分)某班50名学生在一次数学测试中,成绩全部介于50与100之间,将测试结果按如下方式分成五组:第一组 ,第二组 ,…,第五组 .下图是按上述分组方法得到的频?#21490;?#24067;直方图.
      (1)由频?#21490;?#24067;直方图估计50名学生数学成绩的中位数和平均数;
      (2)从测试成绩在 内的所有学生中随机抽取两名同学,设其测试成绩分别为 ,求事件 概率.



      19.(本题满分12分)如图所示的几何体QPABCD为一简单组合体,在底面ABCD中,∠DAB=60°,AD⊥DC,AB⊥BC,QD⊥平面ABCD,PA∥QD,PA=1,AD=AB=QD=2.
      (1)求证:平面PAB⊥平面QBC;
      (2)求该组合体QPABCD的体积.




      20.(本题满分12分)已知点 和椭圆 . 直线 与椭圆 交于不同的两点 .  
      (1) 求椭圆 的离心率;
      (2) 当 时,求 的面积;
      (3)设直线 与椭圆 的另一个交点为 ,当 为 中点时,求 的值 .
      21.(本题满分12分)设函数  .
      (1)试讨论函数 的单调性;
      (2)设 ,记 ,当 时,若方程 有两个不相等的实根 , ,证明 .
      选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
      22.选修4—4坐标系与参数方程  
       知曲线C的极坐标方程是 ,以极点为原点,极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线 的参数方程为  ( 为参数).
      (1)写出直线 的普通方程与曲线C的直角坐标方程;
      (2)设曲线C经过伸缩变换 ,得到曲线 ,设M 为曲线 上任一点,求 的最小值,并求相应点M的坐标.

      23.选修4-5:不等式选讲
      已知实数 ,函数 的最大值为3.
      (1)求 的值;
      (2)设函数 ,若对于 均有 ,求 的取值?#27573;?
       
      2019年第一?#25991;?#25311;考试自主训练(一)
      数学(文)试题参考答案
      一、CBCCA  DADCA  AD
      二、13.     14. 3   15. 6    16.  
      1.复数6-5i对应的点为A(6,-5),复数-2+3i对应的点为B(-2,3).利用中点坐标公式得线段AB的中点C(2,-1),故点C对应的复数为2-i,选C.
      2.函数f(x)=x2+mx+9(m∈R)没有零点,则Δ=m2-36<0,即-6<m<6,显然,q可以推出p,而p不能推出q,故选B.
      3.由题意|4a-3×3+1|5=4,2a+3-3<0,解得a=-3.选C.
      4.由已知得f(x)在(-2,0)上单调递减,所以答案为C.

      7.根据系统抽样特点,抽样间隔为40040=10,被抽到号码l=10k+3,k∈N.由题意可知,第一营区可分为18个小组,每组抽取1人,共抽取18人,由第二营区的编号为181到295,可知181≤10k+3≤295,k∈N,可得18≤k≤29,因此第二营区应有12人,第三营区有10人,所以三个营区被抽中的人数分别为18,12,10.
      8.由条件AB=3,BC=1,由3sin C=1sin 30°,得sin C=32.∴C=60°或120°,∴B=90°或30°,∴S△ABC=12AB?BC?sin B=32sin B=32或34.故选D.
      10.由OA→与OB→在OC→方向上的投影相同可知:OA→?OC→|OC→|=OB→?OC→|OC→|?4a+5=8+5b?4a-5b=3.故选A.
      12.设f′(x)=3x2+2ax+b,由抛物线的离心率为1,知f(1)=1+a+b+c=0故c=-1-a-b,所以f(x)=(x-1)[x2+(1+a)x+a+b+1].另外两根分别是一椭圆、一双曲线的离心率,故g(x)=x2+(1+a)x+a+b+1有两个分别属于(0,1)和(1,+∞)的零点.故有g(0)>0且g(1)<0,即a+b+1>0且2a+b+3<0.运用线性规划知识可求得a2+b2∈(5,+∞).故选D.
      14.3   因为P=∠BAC∠BAD=13,∠BAD=90°,则∠BAC=30°,所以BCAB=tan 30°=33.因为AB=3,则BC=3.
      16. _y=ex+x的导数为y′=ex+1,kA=ex1+1,kB=ex2+1,φ(A,B)=|kA-kB||AB|2=|ex1-ex2|(x1-x2)2+(ex1-ex2+x1-x2)2=|ex1-ex2|1+(ex1-ex2+1)2,x1-x2=1,可得x1>x2,ex1>ex2,可令t=ex1-ex2,可设f(t)=t1+(t+1)2,t>0,f′(t)=1+(t+1)2-2t(t+1)(1+(t+1)2)2=2-t2(1+(t+1)2)2,当0<t<2时,f′(t)>0,f(t)递增;当t>2时,f′(t)<0,f(t)递减.则当t=2处f(t)取得极大值,且为最大值21+(2+1)2=2-12.则φ(A,B)∈
      17.解:设 的公比为 ,则由已知  ,
      解得 ,………………2分
      因为等比数列递增所以 不满足条件所以 , ………………4分
      可得到
      所以 是以1为首项,2以为公差的等差数列
      所以 ………………6分
      (2)
      由错位相减法求得  ………………12分 过程略
      18.解:(1)由直方图知,成绩在 内的频率为 ,所以中位数在 内,设中位数为 ,则 ,解得 ,所以中位数是77;………………3分
      设平均数为 ,则 .………6分
      (2)由直方图知,成绩在 内的人数为: ,设成绩为 ,成绩在 的人数为 ,设成绩为 ,若 时,只有 一种情况,若 时,有 三种情况,若 分别在 和 内时,有 ,共有6种情况,所以基本事件总数为10种,事件“ ”所包含的基本事件个数有6种  ………………10分
       .………………12分
      19.解:(1)因为QD⊥平面ABCD,PA∥QD,
      所以PA⊥平面ABCD. 又BC?平面ABCD,所以PA⊥BC,因为AB⊥BC,且AB∩PA=A,所以
      BC⊥平面PAB,又BC?平面QBC,所以平面PAB⊥平面QBC.(6分)
      (2)平面QDB将几何体分成四棱锥B?PADQ和三棱锥Q?BDC两部分,
      过B作BO⊥AD,因为PA⊥平面ABCD,BO?平面ABCD,
      所以PA⊥BO,又AD⊥OB,PA∩AD=A,
      所以BO⊥平面PADQ,即BO为四棱锥B?APQD的高,
      因为BO=ABsin 60°=3,S四边形PADQ=12(1+2)×2=3,所以VB?PADQ=13?BO?S四边形PADQ=3,因为QD⊥平面ABCD,且QD=2,又△BCD为顶角等于120°的等腰三?#20999;危珺D=2,S△BDC=33,所以VQ?BDC=13?S△BDC?QD=239,所以组合体QPABCD的体积为3+239=1139.(12分)
      20.解(1)因为 ,所以  所以离心率  ………………2分
      (2)设  若 ,则直线 的方程为
       由 ,得 解得   ………………4分
      设 ,则   ………………6分
      (3)法一:
      设 显然直线 有斜率,设直线 的方程为
      由 , 得  ………………7分
      所以  又 ………………8分
      解得    或   
      所以     或  ………………10分
      所以 或 ………………12分
      法二:
      设点 ,因为 , ,所以 ………………7分
      ?#20540;?, 都在椭圆上,所以 ………………8分
      解得 或 ………………10分
      所以  或  ………………12分
      21.解:(1)由 ,可知
        .
      因为函数 的定义域为 ,………………2分
      ①若 时,当 时, ,函数 单调递减,当 时, ,函数 单调递增;………………3分
      ②若 时,当 在 内恒成立,函数 单调递增;…………4分
      ③若 时,当 时, ,函数 单调递减,当 时, ,函数 单调递增.………………5分      综上:略………………6分
      (2)证明:由题可知   ,
      所以  .………………7分
      所以当 时, ;当 时, ;当 时, .
      欲证 ,只需证 ,又 ,即 单调递增,故

      只需证明 .………………8分
      设 , 是方程 的两个不相等的实根,不妨设为 ,

      两式相减并整理得  ,
      从而 ,
      故只需证明 ,………………9分
      即 .
      因为 ,
      所以(*)式可化为 ,
      即 .
      因为 ,所以 ,
      不妨令 ,所以得到 , .………………10分
      记 , ,所以 ,当且仅当 时,等号成立,因此 在 单调递增.
      又 ,因此 , ,
      故 , 得证,
      从而 得证.………………12分
       




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